Marshall-Olkin Type Shock Models and Their Applications

Abstract

Klasik Marshall-Olkin tipi şok modelleri ve bu modellerin modifikasyonlarında, iki ya da daha fazla bileşen içeren sistem farklı kaynaklar tarafından rastgele zamanlarda üretilen şoklara maruz kalır ve sistemin ilgili bileşenleri yok olur. Marshall-Olkin tipi şok modellerinden farklı olarak, üretilen şokun şiddetinin önceden belirlenen eşik değerden yüksek olduğu taktirde ilgili bileşenin imha edileceğini aksi takdirde bileşenin çalışmaya devam edeceğini varsaydık. Daha iyi anlatmak gerekirse, şok zamanı ve şiddetinin bağımlı iki değişkenli dağılıma sahip olduğunu varsaydık. Şokların şiddetlerinin dikkate alınması gerekliliği yaklaşımı bize şok modellerin gerçek yaşam uygulamalarında ortaya çıkan gereksinimleri karşılamamıza izin veriyor. Bu tez çalışmasında, şok zamanı ve şok şiddetinin ortak dağılımını içeren yeni iki değişkenli dağılım sınıfı elde edildi. Yeni iki değişkenli dağılımın bağımlılık özellikleri çalışıldı. Bileşenlerin yaşam süreleri ve şok zamanlarının ikili dağılımlarının verildiği farklı örnekler için, bileşenlerin yaşam sürelerinin ortak dağılımları incelendi. Ayrıca önerilen modelin genişletilmiş çok değişkenli modeli ayrıca tartışıldı. Önerilen modelin tekil dağılım fonksiyonu ve tamamıyla sürekli fonksiyonun kombinasyonu şeklinde olması ortak dağılımın bilinmeyen parametrelerinin en çok olabilirlik tahmin edicilerini bulmayı zorlaştırmaktadır. Bu yüzden, beklenti maximizasyonu algoritması kullanarak önerilen ikili ve çoklu modellerin veri setlerini inceledik. Ayrıca, önerilen ikili ve çoklu modellerin bilinmeyen parametrelerinin asimptotik güven aralıkları oluşturuldu.

In traditional Marshall-Olkin type shock models and their modifications, there are three type of shocks that arrive at random times. These shocks destroy the components of a system which has two or more components. In this thesis, we assume that if the magnitude of the shock exceeds some redefined threshold, then the corresponding component is destroyed; otherwise it continues to survive. It is obvious that, this approach is different from classical Marshall-Olkin type shock models. More precisely, we assume that the shock time and the magnitude of the shock are dependent random variables with given bivariate distribution. The magnitude of shock is an important factor that should be taken into account. Hence, this approach is more flexible for modeling many real life applications of shock models. In this work, new class of bivariate distributions involving the joint distributions of shock times and their magnitudes are obtained. Dependence properties of new bivariate distributions are studied. For different examples of underlying bivariate distributions of lifetimes and shock magnitudes, the joint distributions of lifetimes of the components were investigated. The multivariate extension of the proposed model is also discussed. The proposed model is a mixture of a singular distribution function, and an absolutely continuous function, which makes it difficult to obtain maximum likelihood estimators(MLE) of the unknown parameters. Using Expectation-Maximization(EM) algorithm, we analyzed data sets, for both bivariate and multivariate Marshall-Olkin type distribution with magnitude shock effect models. Also, asymptotic confidence intervals of the unknown parameters of both bivariate and multivariate proposed models are constructed.