Generalized Invariants and Hilbert Ideal in Modular Invariant Theory

Abstract

Hilbert ideali, pozitif dereceli değişmezler ile üretilen polinom halkasının bir idealidir. Hilbert idealinin derecesi en fazla grubun mertebesi olan değişmezler ile üretilebileceği iddia edilmiştir, ve bu varsayım Hilbert ideali sanısı olarak bilinmektedir. Bu tezde başlıca iki problemden bahsedilecektir. Birinci problemde devirli bir grubun kısıtlanmış bir boyutta verilen modüler, parçalanamaz temsilleri için Hilbert ideali sanısını iki farklı yaklşım kullanarak kanıtlayacağız. Bu tezdeki diğer bir çalışma genelleştirilmiş değişmezler üzerinedir. Cismin karakteristiği grubun mertebesini böldüğü durumla tanımlanan modüler değişmez teorisine yeni bir bakış olarak herhangi bir sonlu grup için genelleştirilmiş değişmezleri tanıtacağız. Daha sonra, devirli grubun küçük boyutlu parçalanamaz temsilleri için genelleştirilmiş değişmezlerin yapısal özelliklerini açık bir şekilde göstereceğiz. Ayrıca Hilbert ideali sanısının bir analojisini devirli grubun genelleştirilmiş değişmezleri için kanıtlayacağız. Ana sonuçlardan biri olarak bir sonlu grubun genelleştirilmiş değişmez modülü için yapısal teoremini vereceğiz. Son olarak, genelleştirilmiş değişmezlerin hangi koşulda alışılmış değişmezlere karşılık geldiğini göstereceğiz.

The Hilbert ideal is the ideal of the polynomial ring generated by positivedegree invariants. It has been conjectured that the Hilbert ideal is generated by polynomial invariants of degree at most the group order, which is known as the Hilbert ideal conjecture. In this thesis, we mainly consider two problems. In the first problem, we prove that the conjecture holds for a modular indecomposable representation of a cyclic group in a restricted dimension giving two approaches for the open problem. The other study of this thesis is about generalized invariants. We introduce the definition of generalized invariants to arbitrary finite group as a new view for modular invariant theory, in which the characteristic of ground field divides the group order. Further, we determine explicitly the structural properties of generalized invariants of a cyclic group for lower dimensional indecomposable representations. Moreover, we show an analogy of Hilbert ideal conjecture for generalized invariants of these representations. As one of the main results, we give a structural theorem for generalized invariant module of any finite group. Finally, we determine the condition under which generalized invariants coincide with usual invariants.