Unification of Integrable Q-Difference Equations [doctoral Thesis]

Abstract

Bu tezdeki amacımız integre edilebilen q-fark denklemlerini birleştirici tek bir denklem elde etmektir. Bu genelleştirilmiş q-Hirota-Miwa adındaki denklem, Hirota bilineer formdadır. Bu denklemin integrallenebilirliğini araştırdıktan sonra Hirota methodu ile üç-q-soliton çözümlerini bulduk. Bu denklem çeşitli q-fark denklemlerinin, Toda, KdV ve sine-Gordon gibi denklemlerin Hirota bilineer formlarını içermektedir. Çalışmadaki en önemli nokta, bu bilineer formları oluşturmak için uygun kısıtların Hirota-Miwa denkleminden elde edilmesi ve bu lineer formların sürekli Hirota bilineer formlara indirgenmesidir. Bu tezde, q-Hirota-Miwa denkleminden elde edilen q-Hirota bilineer formlar sonucunda, q-Toda, q-KdV ve q-sine Gordon denklemlerinin standart formlarının yanı sıra üç-q-soliton çözümlerini de inşa ettik.In this thesis our aim is to detect an equation which is a unification of integrable q-difference equations. This generalized equation, namely q-Hirota-Miwa equation, is in Hirota bilinear form. We search the existence of its integrability and find three-q-soliton solutions by Hirota's method. This generalized equation includes bilinear forms of several q-difference equations, such as q-analogues of Toda, KdV and sine-Gordon equations. Not only one of the most important point is to meet with suitable reductions for constructing bilinear forms from Hirota-Miwa equation, but also the key point is that Hirota bilinear forms must also recover their continuous bilinear forms. In this thesis, as a result of q-deformed Hirota bilinear forms reduced from q-Hirota-Miwa equation, we construct standard form of q-Toda, q-KdV and q-sine-Gordon equations as well as their three-q-soltions solutions.