Q-floquet theory and its extensions to time scales periodic in shifts

Abstract

Bu tezde q-fark sistemlerinin Floquet teorisi çarpımsal periyodiklik kavramı kullanılarak incelenmiştir. Floquet ayrışma teoremi üstel matris fonksiyonu denkleminin çözümünün varlığı ispatlanarak verilmiştir. Homojen ve homojen olmayan q-Floquet fark sistemleri incelenerek, periyodik çözümün varlığı için gerek yeter koşullar gösterilmiştir. Ayrıca, Floquet çarpanları ve Floquet kuvvetleri arasında kurulan ilişkinin ışığında elde edilen sonuçlar kararlılık analizinde kullanılmış tır. Tezin kalan kısmında, q-Floquet teorisi zaman skalalarında kaydırma operatörlerine bağlı olarak tanımlanan yeni periyodiklik kavramıyla genelleştirilmiştir. Bu yaklaşım dinamik sistemlerin Floquet teorisinin toplamsallık koşulu aranmaksızın daha genel tanım aralıklarında tartışılmasına imkan tanımıştır. Genelleştirilen sonuçlar Floquet teorisine daha geniş bir açıdan bakılmasını sağlayıp, literatürdeki şu ana kadar Floquet teorisi üzerine yapılmış çalışmalar içerisinde en genel olanlarıdır.

This thesis proposes a Floquet theory for q-diff erence systems by using multiplicative periodicity notion. The Floquet decomposition theorem is given by obtaining the solution of a matrix exponential equation. The existence of periodic solutions of both homogeneous and nonhomogeneous systems are investigated by providing the necessary and suffi cient conditions. Additionally, by establishing a linkage between Floquet multipliers and Floquet exponents of a q-Floquet system, stability analysis is done. The obtained results for q-difference systems are unifified on time scales by using new periodicity concept based on shift operators. This approach enables us to discuss Floquet theory of dynamic systems on more general domains including nonadditive domains. Given results provide a wide perspective for Floquet theory and they are the most general results that are obtained in the existing literature.